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Read e-book online Algebraic and Geometric Topology, Part 1 PDF

By Milgram R. (ed.)

ISBN-10: 082181432X

ISBN-13: 9780821814321

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Bemerkung 2: Abgeschlossene Teilraume kompakter Raume sind kompakt. Beweis: Sei X kompakt, AcX abgeschlossenen, {UA}AEA eine offeneUber- deckung von A. h. UAU. •. U UA = A, qed. 1 r Bemerkung 3: Zwei nichtleere Raurne X und Y sind genau dann beide kompakt, wenn ihre Summe und auch genau dann, wenn ihr Produkt kompakt ist. Beweis (nur fur den interessantesten und verhaltnismaBig am schwierigsten zu beweisenden Teil dieser Bemerkung, namlich dafur, daB das Produkt kompakter Raurne wieder kornpakt ist.

Nun, auch solche Raume kommen in ganz natlirlicher Weise in der Funktionalanalysis vor. B. zuweilen notwendig, auf einem gegebenen topologischen Vektorraum E die "schwache Topologie" zu betrachten, das ist die grobste Topologie, in der aIle bisher stetigen linearen Abbildungen E .... JR (die "linearen Funktionale") stetig bleiben, 1 also die Topologie mit {f- (U) I U c JR offen, f : E .... JR linear und stetig} als Subbasis. B. ein unendlichdimensionaler Hilbertraurn war, dann ist Emit der schwachen Topologie ein lokalkonvexer Hausdorffscher, aber nicht metrisierbarer topologischer (vgl.

Da 'Tf3 auf jedem Orbit konstant ist, definiert es jedenfalls eine Abbildung f3 : S2/G .... [-1,1], so daB das Diagramm kommutativ ist, und offenbar ist f3 bijektiv. Nach §2 ist f3 auch stetig, aber S2/G ist als stetiges Bild des kompakten Raurnes S2 kompakt, und [-1,1] ist Hausdorffsch; also ist f3 ein Homoomorphismus nach dem Satz am Ende des 1. Kapitels, qed. Zum Schlusse wollen wir noch einen Blick auf die einzelnen Orbits selbst werfen, urn auch da wieder eine Quotiententopologie zu entdecken.

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by John
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